Seno y coseno de la suma de dos números reales

Raúl Vallejo Garamendi

11 de abril de 2017

Sea y ∈ ℝ. Considere las funciones:

f_{1}(x) := sin(x + y) − sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y)
f_{2}(x) := cos(x + y) − cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)

podemos observar que:

f_{1}(0) = sin(0 + y) − sin(0) cos(y) − cos(0) sin(y)

= sin(y) − (0) cos(y) − (1) sin(y) = sin(y) − sin(y) = 0.

f_{2}(0) = cos(0 + y) − cos(0) cos(y) + sin(0) sin(y)

= cos(y) − (1) cos(y) + (0) sin(y) = cos(y) − cos(y) = 0.

Ahora vamos a ver que pasa con las derivadas de f_{1} y f_{2}.

f′_{1}(x) = cos(x + y) − cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)
f′_{2}(x) = − sin(x + y) + sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

debemos observar que:

f′_{1}(x) = f_{2}(x)
f′_{2}(x) = −f_{1}(x)

Si consideramos ahora la función:

h(x) = (f_{1}(x))^{2} + (f_{2}(x))^{2} y su derivada, tenemos:

h′(x) = 2f_{1}(x)f′_{1}(x) + 2f_{2}(x)f′_{2}(x)

= 2f_{1}(x)(−f_{2}(x)) + 2f_{2}(x)(f_{1}(x)) = −2f_{1}(x)f_{2}(x) + 2f_{2}(x)f_{1}(x)

= 0.

por lo tanto, h es una función constante. Bastará evaluarla en un punto para saber qué constante es.

h(0) = (f_{1}(0))^{2} + (f_{2}(0))^{2}

= (0)^{2} + (0)^{2} = 0

entonces:

(f_{1}(x))^{2} + (f_{2}(x))^{2} = h(x) = 0.

Ahora vamos a hacer una estimación:

0 ≤ (f_{1}(x))^{2} ≤ (f_{1}(x))^{2} + (f_{2}(x))^{2} = 0
0 ≤ (f_{2}(x))^{2} ≤ (f_{1}(x))^{2} + (f_{2}(x))^{2} = 0

por lo tanto:

f_{1}(x) = 0
f_{2}(x) = 0

de donde:

f_{1}(x) = 0 = sin(x + y) − sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y)
f_{2}(x) = 0 = cos(x + y) − cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)

con lo que obtenemos:

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)