\documentclass{article}
\usepackage{palatino}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\newcommand{\Comb}[2]{
        \left(
            \begin{array}{c} 
               #1 \\ 
               #2
             \end{array}
        \right)
}
\newcommand{\Serie}[1]{\ensuremath 
        \left\{ 
              \left\{ {#1} 
              \right\} 
        \right\} 
}
\newcommand{\demostracion}{\noindent {\bf Demostraci\'on}}
\newtheorem{definicion}{Definici\'on}
\newtheorem{proposicion}{Proposici\'on}
\newtheorem{observacion}{Observaci\'on}
\newtheorem{corolario}{Corolario}
\newtheorem{lema}{Lema}
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\def\sin{\qopname\relax{no}{sen}}
                   
\begin{document}
\title{ Trigonometr\'\i a sin dibujitos}
\author{Eduardo Virue\~na Silva}
\maketitle
\allowdisplaybreaks[1]


\definicion{\label{coefbin}Dados dos n\'umeros enteros no negativos
$a$, $b$, $a\ge b$, se define el {\em coeficiente del binomio} 
de $a$ y $b$, as\'\i:
\[
\Comb{a}{b}:= \frac{a!}{b!(a-b)!}
\]
}

\definicion[Serie]{\label{seriedef}Sea $\left\{a_n\right\}$ una
sucesi\'on  de n\'umeros reales.  Definimos la {\em serie} 
$\Serie{a_n}$ as{\'\i}:
\[
  \Serie{a_n} := \left\{\sum_{k=0}^n a_k\right\}
\]
es decir, la serie $\Serie{a_n}$ es la sucesi\'on de {\em sumas parciales} 
de la sucesi\'on $\left\{a_n\right\}$.
}

\definicion[Suma de una serie]{Si el l\'imite de la 
serie $\Serie{a_n}$ existe, entonces a dicho n\'umero le llamaremos 
la {\em suma} de la serie $\Serie{a_n}$ y escribiremos:
\begin{equation}\label{seriesuma}
    \sum_{k=0}^\infty a_k := \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}\def\sin{\qopname\relax{no}{\sin}}^n a_k 
\end{equation}
}

\definicion[Producto de dos series]{El {\em producto} 
de dos series de n\'umeros reales: $\Serie{a_n}$ y $\Serie{b_n}$ se
define as\'\i:
\begin{equation}\label{serieprod}
\Serie{a_n} \cdot \Serie{b_n} :=
   \Serie{\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}}{}
\end{equation}
}

\definicion[Funci\'on seno]{La funci\'on {\em seno} es 
la funci\'on:
\begin{eqnarray}
        \sin : \mathbb{R} &\to& \mathbb{R}\nonumber\\
                \alpha  &\to& \sin(\alpha ) := \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}}{(2k+1)!}\label{sindef}
\end{eqnarray}
es decir, la funci\'on seno, evaluada en un punto $\alpha $, es la
suma de la serie:
\[
\Serie{\frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}}{2k+1}}
\]
}

\observacion { $\sin(0) = 0$. }

\observacion {\label{sinimpar} La funci\'on seno es una funci\'on impar.}

\proof{ Sea $\alpha\in\mathbb{R}$
\begin{align*}
   \sin(-\alpha)&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (-\alpha)^{2k+1}}{(2k+1)!}\\
                &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (-1)^{2k+1}\alpha^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ 
                &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (-1)\alpha^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ 
                &= - \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \alpha^{2k+1}}{(2k+1)!}\\                               
                &= -\sin(\alpha)
\end{align*}
\qed\\*
}

\definicion[Funci\'on coseno]{La funci\'on {\em coseno} 
es la funci\'on:
\begin{eqnarray}
        \cos : \mathbb{R} &\to& \mathbb{R}\nonumber\\
                \alpha  &\to& \cos(\alpha ) := \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \alpha ^{2k}}{(2k)!}\label{cosdef}
\end{eqnarray}
es decir, la funci\'on coseno, evaluada en un punto $\alpha $, es la
suma de la serie:
\[
\Serie{\frac{(-1)^k \alpha ^{2k}}{2k}}
\]
}

\observacion{$\cos(0) = 1$.}

\observacion{\label{cospar}La funci\'on coseno es una funci\'on par.
}

\proof{
\begin{align*}
   \cos(-\alpha)&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (-\alpha)^{2k}}{(2k)!}\\
                &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (-1)^{2k}\alpha^{2k}}{(2k)!}\\ 
                &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \alpha^{2k}}{(2k)!}\\ 
                &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \alpha^{2k}}{(2k)!}\\                               
                &= \cos(\alpha)
\end{align*}
\qed\\*
}


\proposicion{Para cualesquiera que sean $\alpha $ y $\beta$ $\in \mathbb{R}$:
\begin{equation}
   \sin(\alpha +\beta ) = \sin(\alpha )\cos( \beta ) + \cos(\alpha ) \sin( \beta )\label{sinsuma}
\end{equation}
}

\proof{
\begin{align*}
  \sin(\alpha )\cos( \beta ) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}}{(2k+1)!} \cdot
                     \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \beta^{2k}}{(2k)!}\\ 
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}} {(2k+1)!} \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2(n-k)}} {(2(n-k))!}\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}} {(2k+1)!} \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2n-2k}} {(2n-2k)!}\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}} {(2k+1)!} \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2n+1-2k-1}} {(2n+1-2k-1)!}\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n+1)!}  
                     \sum_{k=0}^n 
                           \frac{ (2n+1)!} {((2n+1)-(2k+1))! \cdot (2k+1)!} \cdot
                            \alpha ^{2k+1} \cdot \beta^{2n+1-(2k+1)}\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n+1)!}
                     \sum_{k=0}^n \Comb{2n+1} {2k+1} \alpha ^{2k+1} \cdot \beta^{2n+1-(2k+1)}\\
  \cos(\alpha )\sin( \beta ) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \alpha ^{2k}}{(2k)!} \cdot
                     \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \beta^{2k+1}}{(2k+1)!} \\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k}} { (2k)! } \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2(n-k)+1}} { (2(n-k)+1)! }\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k}} { (2k)! } \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2n-2k+1}} { (2n-2k+1)! }\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n+1)!}  
                     \sum_{k=0}^n 
                           \frac{ (2n+1)!} {(2n+1-2k)! \cdot (2k)!} 
                            \alpha ^{2k} \beta^{2n+1-2k}\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n+1)!}
                     \sum_{k=0}^n \Comb{2n+1} {2k} \alpha ^{2k} \beta^{2n+1-2k}.
\end{align*}
Ahora, sumando las expresiones de $\sin(\alpha )\cos( \beta )$ y de $\cos(\alpha )\sin( \beta )$:
\begin{align*}
\sin(\alpha )\cos( \beta )+\cos(\alpha )&\sin( \beta )=\\
       & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n+1)!}
                        \sum_{k=0}^n \Comb{2n+1} {2k+1} 
                                              \alpha ^{2k+1} \beta^{(2n+1)-(2k+1)}\\
       & \quad + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n+1)!}
                       \sum_{k=0}^n \Comb{2n+1}{2k} \alpha ^{2k}  \beta^{(2n+1)-2k}\\
       & =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n+1)!}
                 \left(    
                    \sum_{k=0}^n \Comb{2n+1}{2k+1} \alpha ^{2k+1} \beta^{(2n+1)-(2k+1)}
                 \right.\\ 
       &  \qquad \qquad \qquad \qquad \left.   
                  +  \sum_{k=0}^n \Comb{2n+1}{2k} \alpha ^{2k}  \beta^{(2n+1)-2k}
                 \right).
\end{align*}

\noindent Debemos hacer notar que las sumas en el par\'entesis son los 
t\'erminos impares y pares de una misma suma:
\begin{align*}
             & \sum_{r=0}^n \Comb{2n+1}{r} \alpha ^{r} 
                                           \beta^{(2n+1)-r}
\end{align*}
que, por el teorema del binomio de Newton, es igual a $(\alpha +\beta )^{2n+1}$.  De manera que tenemos entonces:
\begin{align*}
\sin(\alpha )\cos( \beta )&+\cos(\alpha )\sin( \beta )=
              \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n+1)!}
                   (\alpha +\beta )^{2n+1} = \sin(\alpha +\beta ),
\end{align*}
\qed\\*
}

\corolario{
Si sustituimos $\beta$ por $-\beta$ en la identidad del
seno  de la suma (ec. \ref{sinsuma}) obtenemos:
\begin{align*}
     \sin(\alpha-\beta) &= \sin(\alpha) \cos(-\beta) +
                          \cos(\alpha) \sin(-\beta) \\
                        &=  \sin(\alpha) \cos(\beta) -
                          \cos(\alpha) \sin(\beta) 
\end{align*}
de donde:
\begin{equation}
     \sin(\alpha-\beta) =  \sin(\alpha) \cos(\beta) -
                          \cos(\alpha) \sin(\beta)\label{sindif}
\end{equation}
}

\corolario{
Para cualquiera que sea $\alpha \in \mathbb{R}$:
\begin{equation}
    \sin(2\alpha)= 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \label{sindos}
\end{equation}
}

\proof{
En la proposici\'on anterior (ec. \ref{sinsuma}) tomemos $\alpha=\beta$.
\begin{align*}
     \sin(\alpha+\alpha) &= \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \sin(\alpha)\cos(\alpha)\\
                         &= 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha).
\end{align*}
}

\proposicion{Para cualesquiera que sean $\alpha $ y $\beta$ $\in \mathbb{R}$:
\begin{equation}
   \cos(\alpha +\beta ) = \cos(\alpha )\cos( \beta ) - \sin(\alpha ) \sin( \beta ) \label{cossuma}
\end{equation}
}

\proof{
\begin{align*}
  \cos(\alpha )\cos( \beta ) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \alpha ^{2k}}{(2k)!} \cdot
                     \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \beta^{2k}}{(2k)!}\\ 
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k}} {(2k)!} \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2(n-k)}} {(2(n-k))!}\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k}} {(2k)!} \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2n-2k}} {(2n-2k)!}\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n)!}  
                     \sum_{k=0}^n 
                           \frac{ (2n)!} {(2k)!\cdot(2n-2k)! } \cdot
                            \alpha ^{2k} \cdot \beta^{2n-2k}\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n)!}
                     \sum_{k=0}^n \Comb{2n} {2k} \alpha ^{2k} \cdot \beta^{2n-2k}\\
%\end{align*}
%\begin{align*}
  \sin(\alpha )\sin( \beta ) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}}{(2k+1)!} \cdot
                     \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \beta^{2k+1}}{(2k+1)!} \\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}} { (2k+1)! } \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2(n-k)+1}} { (2(n-k)+1)! }\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}} { (2k+1)! } \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2n-2k+1}} { (2n-2k+1)! }\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}} { (2k+1)! } \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{2n+2-2k-1}} { (2n+2-2k-1)! }\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
                           \frac{(-1)^k \alpha ^{2k+1}} { (2k+1)! } \cdot
                           \frac{(-1)^{n-k} \beta^{(2n+2)-(2k+1)}} { ((2n+2)-(2k+1))! }\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+2)!} \sum_{k=0}^n 
                          \frac{(2n+2)!} { (2n+2-(2k+1))!\cdot (2k+1)!} \cdot
                          \alpha ^{2k+1}\beta^{2n+2-(2k+1)}\\
                 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+2)!} \sum_{k=0}^n 
                          \Comb{2n+2}{2k+1}
                          \alpha ^{2k+1}\beta^{2n+2-(2k+1)}\\
\end{align*}
En esta suma podemos hacer un cambio de \'indice:  $r:=n+1$ y obtenemos
\begin{align*}
  \sin(\alpha )\sin( \beta ) &=  \sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^{r-1}}{(2r)!} \sum_{k=0}^{r-1}   
                           \Comb{2r}{2k+1} \alpha ^{2k+1}\beta^{2r-(2k+1)}\\
                 &= -\sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^r}{(2r)!} \sum_{k=0}^{r-1} 
                           \Comb{2r}{2k+1} \alpha^{2k+1} \beta^{2r-(2k+1)}
\end{align*}
Esta suma puede empezarse en $r=0$ porque la suma interior no aporta 
sumandos pues tiene un \'\i ndice inicial mayor que el final.
\begin{align*}
  \sin(\alpha )\sin( \beta ) &= -\sum_{r=0}^\infty \frac{(-1)^r}{(2r)!} \sum_{k=0}^{r-1} 
                           \Comb{2r}{2k+1} \alpha ^{2k+1}\beta^{2r-(2k+1)}
\end{align*}

\noindent Ahora, hagamos la resta de $\cos(\alpha )\cos( \beta )$ y $\sin(\alpha )\sin( \beta )$:
\begin{align*}
\cos(\alpha )\cos( \beta )-\sin(\alpha )\sin( \beta )&=
              \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n)!}
                        \sum_{k=0}^n \Comb{2n} {2k} \alpha ^{2k} \beta^{2n-2k}\\
            &+ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n)!}
                       \sum_{k=0}^{n-1} \Comb{2n}{2k+1} \alpha ^{2k+1}  \beta^{2n-(2k+1)}.
\end{align*}
\noindent Debemos hacer notar que las sumas en el par\'entesis son los 
t\'erminos impares y pares de una misma suma:{
\begin{align*}
             & \sum_{r=0}^n \Comb{2n}{r} \alpha ^{r}\beta^{2n-r}
\end{align*}
que, por el teorema del binomio de Newton, es igual a $(\alpha +\beta )^{2n}$.  De manera que tenemos entonces:
\begin{align*}
\cos(\alpha )\cos( \beta )-\sin(\alpha )\sin( \beta )=
              \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{ (2n)!}
                   (\alpha +\beta )^{2n} = \cos(\alpha +\beta ),
\end{align*}
\qed\\*
}


\corolario Para cualquiera que sea $\alpha \in \mathbb{R}$:
\begin{equation}
    \cos^2(\alpha) + {\sin}^2(\alpha) = 1 \label{pitagoras}
\end{equation}

\proof{
\noindent Sea $\alpha \in \mathbb{R}$.  En la proposici\'on anterior (ec. \ref{cossuma}) podemos tomar $\beta=-\alpha$ y obtenemos:
\begin{align*}
  \cos(\alpha-\alpha) &= \cos(\alpha)\cos(-\alpha) - \sin(\alpha)\sin(-\alpha)\\
  \cos(0)  &= \cos(\alpha)\cos(\alpha) + \sin(\alpha)\sin(\alpha) &&
                                             \textrm{// coseno par, seno impar}\\
   1 &= \cos^2(\alpha) + {\sin}^2(\alpha).
\end{align*}
\qed\\*
}

\corolario{
Si sustituimos $\beta$ por $-\beta$ en la identidad del
coseno de la suma (ec. \ref{cossuma}), obtenemos:
\begin{align*}
     \cos(\alpha-\beta) &= \cos(\alpha) \cos(-\beta) -
                          \sin(\alpha) \sin(-\beta) \\
                        &=  \cos(\alpha) \cos(\beta) +
                          \sin(\alpha) \sin(\beta)
\end{align*}
de donde:
\begin{equation}\label{cosdif}
     \cos(\alpha-\beta) =  \cos(\alpha) \cos(\beta) +
                          \sin(\alpha) \sin(\beta) 
\end{equation}
}

\corolario{
Para cualquiera que sea $\alpha \in \mathbb{R}$:
\[
    \cos(2\alpha)=  {\cos}^2(\alpha) - {\sin}^2(\alpha)\label{cosdos}
\]
}

\proof{
En la proposici\'on anterior (ec. \ref{cossuma}) tomemos $\alpha=\beta$.
\begin{align*}
     \cos(\alpha+\alpha) &= \cos(\alpha)\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\sin(\alpha)\\
     \cos(2\alpha)  &= {\cos}^2(\alpha)- {\sin}^2(\alpha).
\end{align*}
\qed\\*
}

\proposicion{
Para cualesquiera que sean $\alpha$ y $\beta \in \mathbb{R}$:
\begin{align}
\sin(\alpha)\cos(\beta)\label{prodsincos}&=
\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))\\
\cos(\alpha)\sin(\beta)\label{prodcossin}&=
\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta))\\
\cos(\alpha)\cos(\beta)\label{prodcoscos}&=
\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))\\ 
\sin(\alpha)\sin(\beta)\label{prodsinsin}&=
-\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))
\end{align}
}

\proof{
Recordemos las las ec. (\ref{sinsuma}) y (\ref{sindif}):
\begin{align*}
   \sin(\alpha +\beta )&=\sin(\alpha )\cos( \beta ) + \cos(\alpha ) \sin( \beta )\\
   \sin(\alpha -\beta )&=\sin(\alpha )\cos( \beta ) + \cos(\alpha ) \sin( \beta )
\end{align*}
sum\'andolas obtenemos:
\begin{align*}
   \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)&=2\sin(\alpha)\cos(\beta)\\
\sin(\alpha)\cos(\beta)&=
\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))\\
\end{align*}
rest\'andolas obtenemos:
\begin{align*}
   \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)&=2\cos(\alpha)\sin(\beta)\\
\cos(\alpha)\sin(\beta)&=
\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)).\\
\end{align*}
Recordemos las ec. (\ref{cossuma}) y (\ref{cosdif}):
\begin{align*}
   \cos(\alpha +\beta ) = \cos(\alpha )\cos( \beta ) - \sin(\alpha ) \sin( \beta )\\
   \cos(\alpha -\beta ) = \cos(\alpha )\cos( \beta ) + \sin(\alpha ) \sin( \beta )\\
\end{align*}
Sum\'andolas obtenemos:
\begin{align*}
   \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)&=2\cos(\alpha)\cos(\beta)\\
\cos(\alpha)\cos(\beta)&=
\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))\\ 
\end{align*}
rest\'andolas obtenemos:
\begin{align*}
   \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)&=-2\sin(\alpha)\sin(\beta)&\\   
\sin(\alpha)\sin(\beta)&=
-\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta))
\end{align*}
\qed\\*
}

\corolario{
En las ecuaciones de la proposici\'on anterior podemos hacer
las sustituciones:
\begin{align*}
A= \alpha + \beta, \quad  B= \alpha - \beta
\end{align*}
y de ellas obtener:
\begin{align*}
 \alpha= \frac{A+B}{2}, \quad  \beta= \frac{A-B}{2}
\end{align*}
entonces, las identidades ahora son:
\begin{align}
   \sin(A) + \sin(B)&=2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\label{sumasinsin}\\
   \sin(A) - \sin(B)&=2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\label{restasinsin}\\
   \cos(A) + \cos(B)&=2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\label{sumacoscos}\\
  \cos(A) - \cos(B)&=-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\label{restacoscos}
\end{align}
}



\definicion{La funci\'on {\em tangente} se define as\'\i:
\begin{eqnarray}
        \tan : \mathbb{R}-\left\{\frac{2k+1}{2}\pi: k\in\mathbb{Z}\right\} 
             &\to& \mathbb{R}\nonumber\\
          \alpha  &\to& \tan(\alpha ) := \frac{\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}\label{tandef}
\end{eqnarray}
}


\observacion{ La funci\'on tangente es impar.
}
\proof{
Como la funci\'on seno es impar y la funci\'on coseno es par, tenemos:
\begin{align*}
   tan(-\alpha) &= \frac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)}\\
                &=  \frac{- \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\
                &= - \frac{ \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\
                &=  -\tan(\alpha)
\end{align*}
}

\proposicion {
Supongamos que $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$, que tanto $\tan(\alpha)$ como 
$\tan(\beta)$ est\'an definidas y que $\tan(\alpha)\tan(\beta)\ne 1$, entonces:
\begin{equation}
   \tan(\alpha +\beta ) = \frac{\tan(\alpha ) + \tan( \beta ) }{1 - \tan(\alpha )\tan( \beta )} \label{tansuma}
\end{equation}
}

\proof{
\begin{align*}
   \tan(\alpha +\beta )&= \frac{\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )} \\
            &= \frac{\sin(\alpha ) \cos( \beta ) + \cos(\alpha ) \sin( \beta )}{\cos(\alpha )\cos( \beta ) -\sin(\alpha )\sin( \beta )}\\
            &= \frac{\frac{\sin(\alpha ) \cos( \beta )}{\cos(\alpha )\cos( \beta )} + 
                     \frac{\cos(\alpha ) \sin( \beta )}{\cos(\alpha )\cos( \beta )}}
                    {\frac{\cos(\alpha )\cos( \beta )}{\cos(\alpha )\cos( \beta )} -
                     \frac{\sin(\alpha )\sin( \beta )}{\cos(\alpha )\cos( \beta )}}\\
            &= \frac{\tan(\alpha ) \cdot 1 + 1\cdot \tan( \beta )}
                    {1 \cdot 1 - \tan(\alpha )\tan( \beta )}\\         
            &= \frac{\tan(\alpha ) + \tan( \beta ) }{1 - \tan(\alpha )\tan( \beta )}
\end{align*}
\qed\\*
}

\corolario{ Si en la proposici\'on anterior (ec. \ref{tansuma}),
sustituimos $\beta$ por $-\beta$, obtenemos:
\begin{align*}
   \tan(\alpha -\beta )&= \frac{\tan(\alpha ) + \tan(-\beta ) }{1 - \tan(\alpha )\tan( -\beta )}
\end{align*}
Pero como la funci\'on tangente es impar:
\begin{align*}
   \tan(\alpha -\beta )&= \frac{\tan(\alpha ) - \tan(\beta ) }{1 + \tan(\alpha )\tan( \beta )}
\end{align*}
}

\corolario{
Sea $\alpha\in\mathbb{R}$, si $\tan(\alpha)$ est\'a definida, 
y si $\tan^2(\alpha) \ne 1$, entonces:
\begin{equation}
    \tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)} \label{tandos}
\end{equation}
}

\proof{
En la proposici\'on anterior (ec. \ref{tansuma}), tomemos $\alpha=\beta$.
\begin{align*}
   \tan(\alpha +\alpha ) &= \frac{\tan(\alpha ) + \tan( \alpha ) }{1 - \tan(\alpha )\tan( \alpha )}\\
   \tan(2\alpha ) &= \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha )}
\end{align*}
\qed\\*
}

\noindent\Large{Continuar\'a...}
\end{document}

